Відношення. Пропорція. Відсотки

Відсотки — найпрактичніша тема шкільної математики й одна з найчастіших на НМТ: знижки, банківські ставки, концентрація розчинів, статистика. Формула тут по суті одна, але задачі здаються різними, бо невідомим щоразу виявляється інший її елемент. Тому головна навичка — не запам'ятати три формули, а навчитися бачити, що в умові є ціле, а що частина.

Відношення

Відношенням двох чисел називають їхню частку: $a : b$ або $\dfrac{a}{b}$ (при $b \neq 0$). Відношення показує, у скільки разів одне число більше за інше або яку частину одне становить від іншого.

Якщо величини задано відношенням, зручно ввести спільний множник. Наприклад, «сторони відносяться як $3 : 5$» означає, що їх можна записати як $3x$ і $5x$, де $x$ — невідомий коефіцієнт. Цей прийом перетворює задачу з відношенням на звичайне рівняння.

Пропорція

Пропорція — це рівність двох відношень:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}.$

Числа $a$ і $d$ — крайні члени, $b$ і $c$ — середні.

З основної властивості: якщо $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$, то $a \cdot x = b \cdot c$, звідки

$x = \dfrac{b \cdot c}{a}.$

Відсотки

Відсоток — це сота частина числа: $1\% = \dfrac{1}{100}$. Щоб знайти частину, користуються формулою:

$\text{Частина} = \text{Ціле} \cdot \dfrac{\text{Відсоток}}{100}.$

Потягни смугу — і простеж, як частина залежить від відсотка й цілого.

Три типи задач на відсотки

Усі задачі на відсотки зводяться до однієї формули, з якої виражають невідоме:

• Знайти частину: відомі ціле й відсоток → $\text{частина} = \text{ціле} \cdot \dfrac{p}{100}$.
• Знайти ціле: відомі частина й відсоток → $\text{ціле} = \text{частина} \cdot \dfrac{100}{p}$.
• Знайти відсоток: відомі частина й ціле → $p = \dfrac{\text{частина}}{\text{ціле}} \cdot 100$.

Найважче зазвичай другий тип — коли ціле невідоме. Ознака проста: якщо в умові сказано «$60$ грн — це $20\%$ від суми», то $60$ — частина, а шукана сума — ціле. Помилка тут типова: множать $60$ на $0{,}2$ замість ділити.

Послідовні зміни

Дуже поширений сюжет НМТ — коли величина змінюється двічі. Тут не можна просто додавати відсотки: базa для другої зміни вже інша. Зручний прийом — множники: зростання на $20\%$ означає множення на $1{,}2$, а зниження на $20\%$ — множення на $0{,}8$.

Типові помилки

• Множать замість ділення, коли шукають ціле. Якщо відома частина й відсоток, ціле дістають діленням.
• Рахують зміну від нового значення. Базою завжди є початкове число.
• Додають відсотки послідовних змін. $+20\%$ і $-20\%$ не дають $0\%$.
• Плутають «на скільки відсотків» і «у скільки разів». Зростання у $2$ рази — це $+100\%$, а не $+200\%$.
• Забувають, що відношення задає лише пропорцію, а не самі числа. Відношення $3 : 5$ описує і пару $(3;\,5)$, і $(18;\,30)$ — потрібна ще одна умова.

Перевір себе