Квадратична функція

Парабола — найчастіший графік на НМТ. Через неї розв'язують квадратні нерівності, шукають найбільші та найменші значення в сюжетних задачах, досліджують рівняння з параметром. Ключ до всієї теми в тому, що три коефіцієнти повністю задають вигляд графіка: навчившись читати $a$, $b$ і $c$, ти уявляєш параболу, не будуючи її.

Квадратична функція — це функція виду

$y = ax^2 + bx + c,$

де $a$, $b$, $c$ — задані числа (коефіцієнти), причому $a \neq 0$. Якщо $a = 0$, функція перестає бути квадратичною й перетворюється на лінійну.

Графіком квадратичної функції є парабола. Покрути повзунки нижче — і простеж, як коефіцієнти змінюють її форму та положення.

Що відповідає за що

Коефіцієнт $a$ керує напрямком гілок і «шириною» параболи:

• якщо $a > 0$ — гілки напрямлені вгору, є найменше значення;
• якщо $a < 0$ — гілки напрямлені вниз, є найбільше значення;
• що більший $|a|$, то вужча парабола.

Коефіцієнт $c$ — це точка перетину з віссю $Oy$, бо при $x = 0$ маємо $y = c$.

Коефіцієнт $b$ разом з $a$ зміщує параболу по горизонталі.

Вершина параболи

Координати вершини обчислюються за формулами:

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = y(x_0).$

Пряма $x = x_0$ — це вісь симетрії параболи. На графіку вершину позначено червоною точкою.

Вершина — це саме та точка, де функція набуває найбільшого (при $a < 0$) або найменшого (при $a > 0$) значення. Тому будь-яка задача на кшталт «за якої ціни прибуток максимальний» чи «яка найбільша площа огорожі» зводиться до пошуку вершини.

Корені та дискримінант

Щоб знайти точки перетину з віссю $Ox$, розв'язують рівняння $ax^2 + bx + c = 0$. Кількість коренів визначає дискримінант:

$D = b^2 - 4ac.$

• $D > 0$ — два різні корені (парабола перетинає вісь $Ox$ у двох точках);
• $D = 0$ — один корінь (парабола дотикається до осі $Ox$);
• $D < 0$ — коренів немає (парабола не перетинає вісь $Ox$).

Самі корені знаходять за формулою $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Знак $\pm$ означає, що коренів два — і кожен рахують окремо:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \qquad \text{(беремо «мінус» перед коренем)}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \qquad \text{(беремо «плюс» перед коренем)}$

Приклад. Для $x^2 - 5x + 6 = 0$: $a=1,\ b=-5,\ c=6$, тож $D = 25 - 24 = 1$, $\sqrt{D}=1$.

$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3.$

Теорема Вієта

Для зведеного рівняння $x^2 + px + q = 0$ (тобто коли $a = 1$) корені пов'язані з коефіцієнтами простими співвідношеннями:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.$

Це часто дозволяє підібрати корені усно, без дискримінанта — корисний прийом на НМТ.

Типові помилки

• Гублять мінус у формулі вершини. Правильно $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
• Знаходять лише $x_0$ і зупиняються. Вершина — це точка, тобто пара $(x_0;\ y_0)$; ординату треба обчислити підстановкою.
• Плутають корені з вершиною. Корені — перетин з віссю $Ox$, вершина — найвища чи найнижча точка параболи.
• Забувають, що при $D < 0$ парабола не перетинає вісь $Ox$, але сама функція чудово існує — просто її значення всюди одного знака.
• Вважають, що більший $a$ піднімає параболу вище. Коефіцієнт $a$ керує шириною й напрямом віток, а за вертикальне положення відповідає $c$ (і вершина).
• Застосовують теорему Вієта до незведеного рівняння. Для $ax^2+bx+c=0$ формули інші: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Перевір себе

Задачі генеруються з випадковими коефіцієнтами — щоразу нові. Введи відповідь і натисни «Перевірити». Кнопка «Інша задача» дає новий варіант.

Знайди корені

Обчисли дискримінант

Абсциса вершини