Рівняння з параметрами

Що таке параметр

Параметр — це буква (найчастіше $a$), яка в рівнянні відіграє роль сталої, але її значення нам невідоме. Розв'язати рівняння з параметром означає для кожного значення параметра вказати кількість і значення коренів.

На НМТ це традиційно найскладніше завдання (№22). Часто питають не самі корені, а за яких значень параметра виконується умова (один корінь, немає коренів тощо), і просять записати їхню суму чи добуток.

Головна ідея: шукай «критичні» значення

Параметр не змінює відповідь плавно. Майже на всьому проміжку кількість коренів однакова, а в кількох окремих точках вона стрибає. Ці точки й називають критичними — саме вони цікавлять НМТ.

Стрибок стається там, де вираз втрачає силу:

• коефіцієнт при $x$ стає нулем — рівняння перестає бути лінійним;
• дискримінант стає нулем — два корені зливаються в один;
• корінь потрапляє на заборонене ОДЗ значення — і зникає.

Порухай повзунок: майже скрізь картинка міняється плавно, але у критичних точках відповідь стрибає.

Лінійне рівняння $kx = b$

Рівняння виду $(a - m)x = b$ зводиться до $kx = b$, де $k = a - m$:

• якщо $k \ne 0$ — єдиний корінь $x = \dfrac{b}{k}$;
• якщо $k = 0$ і $b \ne 0$ — коренів немає;
• якщо $k = 0$ і $b = 0$ — коренів безліч.

Квадратне рівняння: роль дискримінанта

Кількість коренів $x^2 + ax + c = 0$ визначає дискримінант $D = a^2 - 4c$:

$D > 0 \Rightarrow \text{два корені}, \qquad D = 0 \Rightarrow \text{один корінь}, \qquad D < 0 \Rightarrow \text{коренів немає}.$

Умова «єдиний корінь» дає рівняння на параметр: $D = 0$.

Дробові рівняння: ОДЗ і сторонні корені

Для $\dfrac{x^2 - ax + c}{x - r} = 0$ рівняння рівносильне системі: чисельник $= 0$ і $x \ne r$ (ОДЗ). «Єдиний корінь» буває у двох випадках:

1. чисельник має подвійний корінь ($D = 0$), і він не дорівнює $r$;
2. чисельник має два корені, але один із них дорівнює $r$ (сторонній) — лишається один.

Типові помилки

• Ділять на вираз із параметром, не перевіривши його на нуль. Це головна помилка теми: кожне ділення на $(a - m)$ вимагає окремого розгляду випадку $a = m$.
• Забувають випадок $D = 0$. Умова «рівняння має один корінь» майже завжди розпадається на два випадки: нульовий дискримінант або виродження рівняння в лінійне (коли старший коефіцієнт нульовий).
• Не перевіряють корені за ОДЗ у дробових рівняннях — саме сторонній корінь часто й робить розв'язок єдиним.
• Дають відповідь у значеннях $x$ замість значень $a$. Питають зазвичай про параметр, а не про корінь.
• Забувають, що при $a = 0$ квадратне рівняння перестає бути квадратним. Якщо параметр стоїть при $x^2$, цей випадок треба розглянути окремо.
• Не дочитують питання. Часто просять не самі значення параметра, а їхню суму чи добуток.

Перевір себе