Рівняння з параметрами

Що таке параметр

Параметр — це буква (найчастіше $a$ ), яка в рівнянні відіграє роль сталої, але її значення нам невідоме. Розв'язати рівняння з параметром означає для кожного значення параметра вказати кількість і значення коренів.

На НМТ це традиційно найскладніше завдання (№22). Часто питають не самі корені, а за яких значень параметра виконується умова (один корінь, немає коренів тощо), і просять записати їхню суму чи добуток.

Головна ідея: шукай «критичні» значення

Параметр не змінює відповідь плавно. Майже на всьому проміжку кількість коренів однакова, а в кількох окремих точках вона стрибає. Ці точки й називають критичними — саме вони цікавлять НМТ.

Стрибок стається там, де вираз втрачає силу:

коефіцієнт при $x$ стає нулем — рівняння перестає бути лінійним;
дискримінант стає нулем — два корені зливаються в один;
корінь потрапляє на заборонене ОДЗ значення — і зникає.

Порухай повзунок: майже скрізь картинка міняється плавно, але у критичних точках відповідь стрибає.

Лінійне рівняння $kx = b$

Рівняння виду $(a - m)x = b$ зводиться до $kx = b$ , де $k = a - m$ :

якщо $k \ne 0$ — єдиний корінь $x = \dfrac{b}{k}$ ;
якщо $k = 0$ і $b \ne 0$ — коренів немає;
якщо $k = 0$ і $b = 0$ — коренів безліч.

Приклад 1. Коли коренів немає

Скільки коренів має $(a - 2)x = 3$ залежно від $a$ ?

Тут $k = a - 2$ , а $b = 3 \ne 0$ . Права частина ненульова, тому випадок «безліч коренів» неможливий узагалі. Лишається знайти, коли $k = 0$ :

$a - 2 = 0 \;\Rightarrow\; a = 2.$

Відповідь: при $a = 2$ коренів немає; при будь-якому іншому $a$ — єдиний корінь $x = \dfrac{3}{a-2}$ .

Найчастіша помилка

Побачивши $(a-2)x = 3$ , одразу писати $x = \dfrac{3}{a-2}$ — і забути, що ділити на нуль не можна. Ділення на вираз із параметром завжди вимагає окремо розглянути випадок, коли цей вираз дорівнює нулю.

Квадратне рівняння: роль дискримінанта

Кількість коренів $x^2 + ax + c = 0$ визначає дискримінант $D = a^2 - 4c$ :

$D > 0 \Rightarrow \text{два корені}, \qquad D = 0 \Rightarrow \text{один корінь}, \qquad D < 0 \Rightarrow \text{коренів немає}.$

Умова «єдиний корінь» дає рівняння на параметр: $D = 0$ .

Приклад 2. Єдиний корінь

За яких $a$ рівняння $x^2 + ax + 1 = 0$ має єдиний корінь? Знайди суму цих значень.

Єдиний корінь буває рівно тоді, коли $D = 0$ :

$D = a^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = a^2 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; a^2 = 4 \;\Rightarrow\; a = \pm 2.$

Обидва значення підходять, бо старший коефіцієнт $1 \ne 0$ — рівняння лишається квадратним. Сума: $2 + (-2) = 0$ .

Відповідь: $a = \pm 2$ , сума дорівнює $0$ .

Приклад 3. Коли коренів немає

За яких $a$ рівняння $x^2 + ax + 1 = 0$ не має коренів?

Тепер потрібно $D < 0$ :

$a^2 - 4 < 0 \;\Rightarrow\; a^2 < 4 \;\Rightarrow\; -2 < a < 2.$

Відповідь: $a \in (-2;\ 2)$ . Зверни увагу: відповідь — цілий проміжок, а не окремі числа. Так буває, коли питають про нерівність ( $D < 0$ ), а не про рівність.

Дробові рівняння: ОДЗ і сторонні корені

Для $\dfrac{x^2 - ax + c}{x - r} = 0$ рівняння рівносильне системі: чисельник $= 0$ і $x \ne r$ (ОДЗ). «Єдиний корінь» буває у двох випадках:

чисельник має подвійний корінь ( $D = 0$ ), і він не дорівнює $r$ ;
чисельник має два корені, але один із них дорівнює $r$ (сторонній) — лишається один.

Приклад 4. Пастка з ОДЗ

За яких $a$ рівняння $\dfrac{x^2 - ax + 4}{x - 2} = 0$ має єдиний корінь?

Крок 1. ОДЗ: $x \ne 2$ .

Крок 2. Перший випадок — подвійний корінь чисельника:

$D = a^2 - 16 = 0 \;\Rightarrow\; a = \pm 4.$

При $a = 4$ корінь $x = 2$ — але це заборонене значення, тож коренів не лишається взагалі. При $a = -4$ корінь $x = -2$ , він у ОДЗ — підходить.

Крок 3. Другий випадок — два корені, один із яких дорівнює $2$ . Підставимо $x = 2$ у чисельник: $4 - 2a + 4 = 0 \Rightarrow a = 4$ . Але при $a = 4$ чисельник має подвійний корінь $x = 2$ (це вже розглянуто) — нових значень немає.

Відповідь: $a = -4$ .

Не забувай про ОДЗ

У дробових рівняннях корінь чисельника, що збігається зі значенням, яке перетворює знаменник на нуль, — сторонній. Саме він «прибирає» зайвий корінь і робить розв'язок єдиним.

Типові помилки

Ділять на вираз із параметром, не перевіривши його на нуль. Це головна помилка теми: кожне ділення на $(a - m)$ вимагає окремого розгляду випадку $a = m$ .
Забувають випадок $D = 0$ . Умова «рівняння має один корінь» майже завжди розпадається на два випадки: нульовий дискримінант або виродження рівняння в лінійне (коли старший коефіцієнт нульовий).
Не перевіряють корені за ОДЗ у дробових рівняннях — саме сторонній корінь часто й робить розв'язок єдиним.
Дають відповідь у значеннях $x$ замість значень $a$ . Питають зазвичай про параметр, а не про корінь.
Забувають, що при $a = 0$ квадратне рівняння перестає бути квадратним. Якщо параметр стоїть при $x^2$ , цей випадок треба розглянути окремо.
Не дочитують питання. Часто просять не самі значення параметра, а їхню суму чи добуток.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Відповідь — одне число (може бути десятковим, напр. -92,8). Кому й крапку прийнято обидві.