Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник — найпродуктивніша фігура всієї шкільної геометрії. Через нього означують синус, косинус і тангенс; до нього зводять задачі про рівнобедрений трикутник, ромб, трапецію, а в стереометрії — про висоту піраміди чи діагональ паралелепіпеда. Схема майже завжди однакова: у складній фігурі проводять висоту, дістають прямокутний трикутник — і далі працює теорема Піфагора.

Прямокутний трикутник має один прямий кут ( $90°$ ). Сторони проти гострих кутів — катети, а сторона проти прямого кута (найдовша) — гіпотенуза.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $180°$ , на два гострих кути лишається рівно $90°$ . Отже, гострі кути прямокутного трикутника завжди доповнюють один одного: якщо один із них $37°$ , другий неодмінно $53°$ .

Теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

$c^2 = a^2 + b^2.$

Порухай повзунки катетів — гіпотенуза й площі квадратів оновлюються:

Пифагорові трійки

Трійки цілих чисел, що задовольняють теорему: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ . Їх варто запам'ятати — вони часто трапляються на НМТ.

Корисно пам'ятати й кратні трійки: $(6,8,10)$ , $(9,12,15)$ , $(10,24,26)$ — це ті самі трійки, помножені на число. Побачивши в умові сторони $6$ і $10$ , досвідчений розв'язувач одразу впізнає подвоєну трійку $(3,4,5)$ і називає катет $8$ без обчислень.

Приклад 1 — шукаємо катет

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $13$ , один катет — $5$ . Знайдемо другий.

За теоремою Піфагора $c^2 = a^2 + b^2$ , тобто $13^2 = 5^2 + b^2$ ;
підставляємо: $169 = 25 + b^2$ ;
звідси $b^2 = 144$ , отже $b = 12$ (довжина додатна).

Відповідь: $12$ . Це впізнавана трійка $(5,12,13)$ .

Гіпотенуза — завжди найбільша

Найчастіша помилка в цій темі — підставити гіпотенузу на місце катета. Перед обчисленням завжди питай себе: чи лежить ця сторона проти прямого кута? Якщо в задачі найбільше з даних чисел опинилося серед катетів, десь є помилка.

Особливі прямокутні трикутники

30°-60°-90°: катет проти кута $30°$ дорівнює половині гіпотенузи; катет проти $60°$ дорівнює $\dfrac{c\sqrt{3}}{2}$ .
45°-45°-90°: катети рівні, а гіпотенуза $= a\sqrt{2}$ .

Ці два трикутники варто знати напам'ять — вони дають відповідь без теореми Піфагора. Перший виникає, коли розрізати рівносторонній трикутник висотою навпіл (звідси й «половина гіпотенузи»), другий — коли розрізати квадрат діагоналлю.

Приклад 2 — трикутник 30-60-90

У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює $10$ , а один із гострих кутів — $30°$ . Знайдемо обидва катети.

Катет проти кута $30°$ — половина гіпотенузи: $a = \dfrac{10}{2} = 5$ ;
катет проти кута $60°$ : $b = \dfrac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ .

Перевірка за Піфагором: $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$ . ✅

Тригонометричні відношення

Для гострого кута $\alpha$ прямокутного трикутника:

$\sin\alpha = \dfrac{\text{протилежний}}{\text{гіпотенуза}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\text{прилеглий}}{\text{гіпотенуза}}, \quad \tan\alpha = \dfrac{\text{протилежний}}{\text{прилеглий}}.$

Порухай кут і простеж, як змінюються відношення:

Не переплутай

Протилежний катет — навпроти кута, прилеглий — біля кута (той, що утворює кут разом із гіпотенузою).

Оскільки катет завжди коротший за гіпотенузу, синус і косинус гострого кута лежать між $0$ і $1$ . Відповідь $\sin\alpha = 1{,}25$ — певна ознака помилки. А от тангенс жодних обмежень не має: він дорівнює відношенню двох катетів і може бути як завгодно великим.

Приклад 3 — від відношення до сторони

У прямокутному трикутнику $\sin\alpha = 0{,}6$ , а гіпотенуза дорівнює $20$ . Знайдемо катет, протилежний куту $\alpha$ , і другий катет.

За означенням $\sin\alpha = \dfrac{a}{c}$ , тобто $0{,}6 = \dfrac{a}{20}$ ;
звідси $a = 0{,}6 \cdot 20 = 12$ ;
другий катет за Піфагором: $b^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$ , отже $b = 16$ .

Відповідь: $12$ і $16$ — знову впізнавана трійка, цього разу $(3,4,5)$ , помножена на $4$ .

Типові помилки

Плутають гіпотенузу з катетом і пишуть $c^2 = a^2 + b^2$ там, де насправді треба $b^2 = c^2 - a^2$ . Орієнтир: гіпотенуза лежить проти прямого кута й завжди найбільша.
Забувають добути корінь. Теорема Піфагора дає $b^2$ , а в задачі питають $b$ .
Плутають прилеглий катет із протилежним. Найнадійніший спосіб — щоразу підписувати на рисунку, який катет «дивиться» на кут.
Застосовують теорему Піфагора до непрямокутного трикутника. Для довільного трикутника потрібна теорема косинусів.
Вважають, що $\sin\alpha$ може бути більшим за одиницю. Для гострого кута синус і косинус завжди в межах від $0$ до $1$ .

Перевір себе

Порада щодо вводу

Числові відповіді — одним числом. Тригонометричне відношення можна вводити дробом 3/5 або десятковим 0.6.